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Théorie de la pizza !
La pause-déjeuner devrait être l’occasion de se détendre en compagnie d’un collègue de travail – le plus difficile étant de décider ce qu’on veut manger et boire. Mais, pour Rick Mabry et Paul Deiermann, les choses ne sont pas aussi simples. Ils sont incapables de partager une grande pizza sans se lancer dans des opérations complexes pour la diviser équitablement. Le problème qui les préoccupe est le suivant : admettons que le serveur, distrait, coupe la grande pizza de manière décentrée, mais en traçant tout de même des droites qui se croisent en un même point. Si ce point ne correspond pas au centre du rond de pâte, les parts ne seront pas égales. Comment, dans ce cas, savoir si deux personnes qui prennent à tour de rôle des parts voisines obtiendront la même quantité de pizza ? Comment déterminer celle qui en aura le plus ?
Comme pour de nombreuses énigmes mathématiques, la solution a été obtenue par étapes, en étudiant les diverses possibilités. Dans l’exemple le plus facile à imaginer, au moins une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza. Un croquis rapide montre qu’il y a une symétrie de part et d’autre de cette ligne : les parts forment des paires avec celles qui sont situées de l’autre côté de la ligne. La pizza peut donc être divisée également entre les deux convives, indépendamment du nombre de fois qu’on la coupe.
Jusqu’ici, tout va bien… Mais si aucune des lignes ne passe par le centre ? Pour une pizza coupée en deux, la réponse est évidente : celui qui obtient la part où se trouve le centre a la plus grosse portion. Pour une pizza coupée en quatre, le résultat est le même. Mais il s’agit d’une exception aux trois règles générales qui régissent la division d’une pizza et qui constituent le “théorème de la pizza”.
Les coupes impaires posent problème
Selon la première règle, si vous coupez une pizza un nombre pair de fois (plus de deux) en passant par un point précis, le plat peut être divisé également entre deux convives s’ils alternent en prenant des parts voisines. Cet aspect du problème a été étudié pour la première fois en 1967 par L.J. Upton dans Mathematics Magazine (vol. 40, p. 163). Upton n’avait pas pris la peine d’étudier le cas d’une pizza coupée deux fois : il avait simplement demandé aux lecteurs de prouver qu’une pizza coupée quatre fois – en huit parts – pouvait être partagée également entre deux personnes. La solution générale pour un nombre de coupes supérieur à quatre, et toujours pair, a ensuite été découverte en 1968 en réponse au défi qu’avait lancé Upton. La solution révélait, grâce à des calculs algébriques élémentaires permettant de connaître l’aire exacte des parts, que la pizza pouvait encore une fois être divisée également entre les deux convives (Mathematics Magazine, vol. 41, p. 46). Mais les choses se compliquent lorsque la pizza est coupée un nombre impair de fois. Selon le théorème de la pizza, pour une pizza coupée 3, 7, 11, 15… fois sans qu’aucune des lignes de coupe passe par le centre, la personne qui obtient la part où se trouve le centre aura plus à manger que l’autre. Pour une pizza coupée 5, 9, 13, 17… fois, le contraire prévaut. Mais démontrer ce théorème s’est révélé difficile. Tellement difficile que Mabry et Deiermann viennent seulement de mettre la dernière main à une démonstration couvrant l’ensemble des possibilités.
C’est en 1994 qu’a débuté leur quête. Ils ont relevé un défi posé par Mathematics Magazine (vol. 67, p. 304). “Peut-être qu’à notre place la plupart des mathématiciens auraient pensé : ‘Si les auteurs sont incapables d’apporter une solution, je ne vais pas tenter le coup’, a dit Mabry. Mais nous avons été assez stupides pour essayer.”
Deiermann a rapidement élaboré une solution au problème des six parts – “l’une des plus intelligentes que j’aie jamais vue”, se rappelle Mabry. Les deux mathématiciens ont ensuite réussi à démontrer l’hypothèse des dix parts – bien que de nouveaux problèmes aient surgi au cours de la démonstration. Ils ont ensuite cherché à prouver que le résultat est le même pour une pizza coupée trois fois que pour une pizza coupée sept fois : la personne qui mange la part incluant le centre obtient une plus grande quantité de pizza. Encouragés par leur succès, les deux mathématiciens ont pensé avoir découvert une technique permettant de prouver une fois pour toutes l’ensemble des cas envisageables. En comparant la surface des parts opposées, et en additionnant les différences. En principe, la technique est simple. En pratique, toutefois, il est extrêmement difficile de trouver une solution couvrant l’ensemble des nombres impairs de coupes.
Mabry et Deiermann ont tenté, par une astuce géométrique ingénieuse, de simplifier le problème.Malheureusement, la solution nécessitait toujours l’utilisation de formules très élaborées. Et même si Mabry et Deiermann n’avaient pas besoin d’un résultat précis, ils devaient tout de même savoir si celui-ci était positif ou négatif pour déterminer qui obtiendrait la plus grosse portion. “Ça nous a pris onze ans pour trouver la solution”, a indiqué Mabry.
Les deux hommes ont utilisé des programmes informatiques pour tester leurs résultats, mais ce n’est que lorsque Mabry a mis de côté les moyens technologiques qu’il a pu avoir une vision claire du problème. Il a réussi à remodeler ses calculs algébriques pour obtenir une formule plus élégante et plus maniable. Il a ensuite écumé la Toile à la recherche d’une solution à son problème dans le vaste domaine de l’analyse combinatoire – un do*maine des mathématiques pures qui s’intéresse au dénombrement, au comptage et à l’ordonnancement d’éléments. Il a fini par trouver ce qu’il cherchait dans un article de 1999 citant un énoncé mathématique de 1979. C’est là qu’il a trouvé les outils dont Deiermann et lui avaient besoin pour démontrer si l’algèbre complexe des bandes rectangulaires donnait des résultats positifs ou négatifs. Le reste de la preuve a ensuite commencé à se mettre en place (The American Mathematical Monthly, vol. 116, p. 423).
La solution au théorème de la pizza facilitera-t-elle la résolution d’autres problèmes pratiques importants ? Pas vraiment – et Mabry ne semble pas s’en préoccuper outre mesure. “C’est ce qu’il y a de drôle chez certains mathématiciens, explique-t-il. Souvent, nous accordons peu d’importance au fait que les résultats aient des applications ou non. La beauté des résultats nous suffit en elle-même.”
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Comment partager une pizza ?
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Utilité
Le théorème de la pizza n’a pour le moment aucune application dans le monde réel, en dehors du partage d’une trois fromages, reconnaissent Mabry et Deiermann. Mais il est possible de trouver un jour une utilité à cette démonstration mathématique. C’est ce qui s’est produit pour la courbe Peano, nommée d’après le mathématicien italien Giuseppe Peano, qui a décrit pour la première fois, en 1890,
une fonction remplissant entièrement un espace fini (un carré). Considérée comme un aimable amusement par un certain nombre de ses pairs, cette fonction a connu son heure de gloire un siècle après.Car elle décrit une fractale, un objet mathématique qui permet aujourd’hui de décrire des structures biologiques, des phénomènes économiques ou météorologiques.
Source : Courrier international
Comme pour de nombreuses énigmes mathématiques, la solution a été obtenue par étapes, en étudiant les diverses possibilités. Dans l’exemple le plus facile à imaginer, au moins une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza. Un croquis rapide montre qu’il y a une symétrie de part et d’autre de cette ligne : les parts forment des paires avec celles qui sont situées de l’autre côté de la ligne. La pizza peut donc être divisée également entre les deux convives, indépendamment du nombre de fois qu’on la coupe.
Jusqu’ici, tout va bien… Mais si aucune des lignes ne passe par le centre ? Pour une pizza coupée en deux, la réponse est évidente : celui qui obtient la part où se trouve le centre a la plus grosse portion. Pour une pizza coupée en quatre, le résultat est le même. Mais il s’agit d’une exception aux trois règles générales qui régissent la division d’une pizza et qui constituent le “théorème de la pizza”.
Les coupes impaires posent problème
Selon la première règle, si vous coupez une pizza un nombre pair de fois (plus de deux) en passant par un point précis, le plat peut être divisé également entre deux convives s’ils alternent en prenant des parts voisines. Cet aspect du problème a été étudié pour la première fois en 1967 par L.J. Upton dans Mathematics Magazine (vol. 40, p. 163). Upton n’avait pas pris la peine d’étudier le cas d’une pizza coupée deux fois : il avait simplement demandé aux lecteurs de prouver qu’une pizza coupée quatre fois – en huit parts – pouvait être partagée également entre deux personnes. La solution générale pour un nombre de coupes supérieur à quatre, et toujours pair, a ensuite été découverte en 1968 en réponse au défi qu’avait lancé Upton. La solution révélait, grâce à des calculs algébriques élémentaires permettant de connaître l’aire exacte des parts, que la pizza pouvait encore une fois être divisée également entre les deux convives (Mathematics Magazine, vol. 41, p. 46). Mais les choses se compliquent lorsque la pizza est coupée un nombre impair de fois. Selon le théorème de la pizza, pour une pizza coupée 3, 7, 11, 15… fois sans qu’aucune des lignes de coupe passe par le centre, la personne qui obtient la part où se trouve le centre aura plus à manger que l’autre. Pour une pizza coupée 5, 9, 13, 17… fois, le contraire prévaut. Mais démontrer ce théorème s’est révélé difficile. Tellement difficile que Mabry et Deiermann viennent seulement de mettre la dernière main à une démonstration couvrant l’ensemble des possibilités.
C’est en 1994 qu’a débuté leur quête. Ils ont relevé un défi posé par Mathematics Magazine (vol. 67, p. 304). “Peut-être qu’à notre place la plupart des mathématiciens auraient pensé : ‘Si les auteurs sont incapables d’apporter une solution, je ne vais pas tenter le coup’, a dit Mabry. Mais nous avons été assez stupides pour essayer.”
Deiermann a rapidement élaboré une solution au problème des six parts – “l’une des plus intelligentes que j’aie jamais vue”, se rappelle Mabry. Les deux mathématiciens ont ensuite réussi à démontrer l’hypothèse des dix parts – bien que de nouveaux problèmes aient surgi au cours de la démonstration. Ils ont ensuite cherché à prouver que le résultat est le même pour une pizza coupée trois fois que pour une pizza coupée sept fois : la personne qui mange la part incluant le centre obtient une plus grande quantité de pizza. Encouragés par leur succès, les deux mathématiciens ont pensé avoir découvert une technique permettant de prouver une fois pour toutes l’ensemble des cas envisageables. En comparant la surface des parts opposées, et en additionnant les différences. En principe, la technique est simple. En pratique, toutefois, il est extrêmement difficile de trouver une solution couvrant l’ensemble des nombres impairs de coupes.
Mabry et Deiermann ont tenté, par une astuce géométrique ingénieuse, de simplifier le problème.Malheureusement, la solution nécessitait toujours l’utilisation de formules très élaborées. Et même si Mabry et Deiermann n’avaient pas besoin d’un résultat précis, ils devaient tout de même savoir si celui-ci était positif ou négatif pour déterminer qui obtiendrait la plus grosse portion. “Ça nous a pris onze ans pour trouver la solution”, a indiqué Mabry.
Les deux hommes ont utilisé des programmes informatiques pour tester leurs résultats, mais ce n’est que lorsque Mabry a mis de côté les moyens technologiques qu’il a pu avoir une vision claire du problème. Il a réussi à remodeler ses calculs algébriques pour obtenir une formule plus élégante et plus maniable. Il a ensuite écumé la Toile à la recherche d’une solution à son problème dans le vaste domaine de l’analyse combinatoire – un do*maine des mathématiques pures qui s’intéresse au dénombrement, au comptage et à l’ordonnancement d’éléments. Il a fini par trouver ce qu’il cherchait dans un article de 1999 citant un énoncé mathématique de 1979. C’est là qu’il a trouvé les outils dont Deiermann et lui avaient besoin pour démontrer si l’algèbre complexe des bandes rectangulaires donnait des résultats positifs ou négatifs. Le reste de la preuve a ensuite commencé à se mettre en place (The American Mathematical Monthly, vol. 116, p. 423).
La solution au théorème de la pizza facilitera-t-elle la résolution d’autres problèmes pratiques importants ? Pas vraiment – et Mabry ne semble pas s’en préoccuper outre mesure. “C’est ce qu’il y a de drôle chez certains mathématiciens, explique-t-il. Souvent, nous accordons peu d’importance au fait que les résultats aient des applications ou non. La beauté des résultats nous suffit en elle-même.”
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Comment partager une pizza ?
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Utilité
Le théorème de la pizza n’a pour le moment aucune application dans le monde réel, en dehors du partage d’une trois fromages, reconnaissent Mabry et Deiermann. Mais il est possible de trouver un jour une utilité à cette démonstration mathématique. C’est ce qui s’est produit pour la courbe Peano, nommée d’après le mathématicien italien Giuseppe Peano, qui a décrit pour la première fois, en 1890,
une fonction remplissant entièrement un espace fini (un carré). Considérée comme un aimable amusement par un certain nombre de ses pairs, cette fonction a connu son heure de gloire un siècle après.Car elle décrit une fractale, un objet mathématique qui permet aujourd’hui de décrire des structures biologiques, des phénomènes économiques ou météorologiques.
Source : Courrier international
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