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Pas vraiment la blague qui procure un éclat de rire ; c’est plutôt la jubilation d’utiliser la puissance du raisonnement par récurrence.
Généralement, cet exemple est illustré avec une boite de crayon dont on montre qu’ils sont tous de la même couleur.
C’est beaucoup plus rigolo de prouver que toutes les femmes sont belles ; assertion totalement fausse bien sûr. (Je suis certain d’avoir fait une figure de style hyper riche).
C’est un exemple donné aux étudiants pour bien montrer qu’il faut être rigoureux lorsque l’on utilise le raisonnement par récurrence.
Démontrons donc par récurrence que toutes les femmes sont belles.
1. On montrera d’abord le lemme suivant.
« Pour chaque ensemble de n femmes (n dans N (l’ensemble des entiers) quelconque), toutes ces n femmes sont aussi belles les unes que les autres. »
La proposition est vraie pour n=1 : toutes les femmes d’un ensemble de 1 femme sont toutes aussi belles.
Supposons que la proposition est vraie pour un ensemble de n femmes. Soit un ensemble de n+1 femmes. Numérotons les de 1 à n+1.
Les femmes de 1 à n forment un groupe de n femmes, elles sont donc toutes aussi belles. C’est notre hypothèse de récurrence appliquée aux n premières femmes.
De même, les femmes de 2 à n+1 sont toutes aussi belles, formant un groupe de n femmes. C’est notre hypothèse de récurrence appliquée aux 2 à n+1 suivantes.
Il est donc clair, les femmes de 2 à n étant communes aux 2 groupes, que les n+1 femmes sont aussi belles les unes que les autres.
CQFD : c’est vrai pour n=1 et il y a hérédité d’après ci-dessus.
2. Prenons alors l’ensemble de toutes les femmes. L’une au moins est belle, donc elles le sont toutes, d’après ce qu’on vient de voir.
C’est beau les maths, mais évidement y’a une embrouille quelque part dans l’application du raisonnement par récurrence…
dozias.fr
Généralement, cet exemple est illustré avec une boite de crayon dont on montre qu’ils sont tous de la même couleur.
C’est beaucoup plus rigolo de prouver que toutes les femmes sont belles ; assertion totalement fausse bien sûr. (Je suis certain d’avoir fait une figure de style hyper riche).
C’est un exemple donné aux étudiants pour bien montrer qu’il faut être rigoureux lorsque l’on utilise le raisonnement par récurrence.
Démontrons donc par récurrence que toutes les femmes sont belles.
1. On montrera d’abord le lemme suivant.
« Pour chaque ensemble de n femmes (n dans N (l’ensemble des entiers) quelconque), toutes ces n femmes sont aussi belles les unes que les autres. »
La proposition est vraie pour n=1 : toutes les femmes d’un ensemble de 1 femme sont toutes aussi belles.
Supposons que la proposition est vraie pour un ensemble de n femmes. Soit un ensemble de n+1 femmes. Numérotons les de 1 à n+1.
Les femmes de 1 à n forment un groupe de n femmes, elles sont donc toutes aussi belles. C’est notre hypothèse de récurrence appliquée aux n premières femmes.
De même, les femmes de 2 à n+1 sont toutes aussi belles, formant un groupe de n femmes. C’est notre hypothèse de récurrence appliquée aux 2 à n+1 suivantes.
Il est donc clair, les femmes de 2 à n étant communes aux 2 groupes, que les n+1 femmes sont aussi belles les unes que les autres.
CQFD : c’est vrai pour n=1 et il y a hérédité d’après ci-dessus.
2. Prenons alors l’ensemble de toutes les femmes. L’une au moins est belle, donc elles le sont toutes, d’après ce qu’on vient de voir.
C’est beau les maths, mais évidement y’a une embrouille quelque part dans l’application du raisonnement par récurrence…
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