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Comment se forment les rides ? (Math)

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  • Comment se forment les rides ? (Math)

    La formation de rides sur des surfaces courbées résistait à la modélisation mathématique. Une nouvelle approche a permis de préciser ce qui détermine les motifs observés.



    Une sphère contractée se couvre de rides. En jouant sur les paramètres de courbure et d'épaisseur du film, les chercheurs ont mis en évidence deux phases (hexagonale, à gauche et de sillons labyrinthiques à droite) avec une transition mixte entre les deux. Les simulations numériques du modèle (en haut) correspondent à ce qui est observé expérimentalement (en bas).N. Stoop et al./Nature materials


    Quand un grain de raisin se dessèche, sa peau se ride. Le même phénomène est à l’origine des empreintes digitales, l’ensemble des sillons qui forme un labyrinthe unique sur les doigts d’un individu. Cependant, le motif labyrinthique n’est pas le seul à apparaître sur des surfaces courbées. On observe aussi un motif hexagonal analogue à celui qui recouvre la surface d’une balle de golf. Quels paramètres définissent la forme des rides ? Ces structures étaient difficiles à étudier, c’est maintenant possible grâce aux travaux du mathématicien Jörn Dunkel et de son équipe de l’Institut de technologie du Massachusetts (MIT).

    On explique souvent la formation des empreintes digitales par l’instabilité de flambage. Lorsqu’un matériau est comprimé, il se déforme uniformément dans un premier temps, avant de se plier lorsque la contrainte imposée devient trop importante. Ce phénomène, mis en avant par Euler, est souvent considéré comme dangereux par les ingénieurs, car il engendre des déformations dont les caractéristiques ne sont pas maîtrisées. Imaginez un immeuble qui fléchirait sous son propre poids ! L'instabilité de flambage est aussi utilisée à des fins positives dans certaines applications. Pedro Reis et Denis Terwagne du MIT ont par exemple montré qu'on pouvait réduire les frottements de l'air (l'effet de traînée) – sur une balle de golf, par exemple – grâce à ce type d'instabilité. Leur expérience consiste à attacher un film mince élastique à la surface d'une sphère et à retirer l'air se trouvant à l'intérieur. Lorsque la quantité d'air retirée est suffisante, le film se comprime fortement, une instabilité de flambage apparaît et des rides se développent à la surface du film. En fonction des paramètres de l'expérience, les rides forment soit un motif de type labyrinthe, soit un motif hexagonal. C'est ce dernier, par exemple, qui permet de réduire l'effet de traînée d'une balle de golf. Les mathématiciens du MIT (Norbert Stoop, Romain Lagrange et Jörn Dunkel) ont cherché à comprendre le mécanisme de formation de ces rides et le processus de sélection entre les deux motifs.

    Walter Koiter, de l’Université de Delft, avait développé une théorie mathématique qui décrit les déformations d'une surface courbe et élastique. Cependant, la résolution de ces équations était trop difficile pour étudier la transition entre les différentes formes de rides – le cas qui intéressait Jörn Dunkel et ses collègues –, en raison d’effets non linéaires importants, liés à la courbure de la surface. En appliquant des hypothèses simplificatrices validées expérimentalement, ces derniers ont réduit les équations de Koiter à une seule équation, dite de type Swift-Hohenberg, et dont la résolution numérique est rendue possible (par une méthode fondée sur les éléments finis).

    Avec cette approche, les chercheurs du MIT ont tout d'abord déterminé la quantité d'air à retirer dans l'expérience de Pedro Reis pour l'apparition des rides. Ensuite, ils ont mis en évidence le rôle de deux facteurs pour expliquer la sélection du motif de rides : la courbure de la surface et l'épaisseur du film élastique. Par exemple, plus une surface est courbée et plus les rides présentent un motif hexagonal régulier. Plus le film élastique est mince et plus les rides forment des sillons labyrinthiques. Jörn Dunkel et ses collègues ont ainsi quantifié les paramètres qui déterminent la forme des rides. Ils ont aussi observé une phase intermédiaire dans laquelle des formes hexagonales et des rides labyrinthiques cohabitent.

    Ce modèle mathématique est confirmé par le fait que les prédictions théoriques et les tests expérimentaux concordent. Le phénomène serait universel et s’appliquerait aussi bien à des échelles microscopiques que macroscopiques. Il interviendrait sur tout type de surface courbée en compression et expliquerait entre autres l’aspect du raisin sec, les empreintes digitales et les circonvolutions du cerveau. Un des points majeurs de la théorie développée par l'équipe de Jörn Dunkel est qu'elle est applicable à n'importe quel type de surface courbée et ne se limite donc pas à la géométrie sphérique utilisée par Pedro Reis dans ses expériences.



    Pour la Science
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